Transformăm membrul stâng al ecuației:
[tex]\it 3log_6\left(3-\dfrac{3}{2x+3}\right) = 3log_6\dfrac{6x+6}{2x+3} = 3log_6 6\cdot\dfrac{x+1}{2x+3} =
\\ \\ \\
= 3\left(log_6 6+log_6\dfrac{x+1}{2x+3}\right) = 3\left(1+log_6\dfrac{x+1}{2x+3}\right) =
\\ \\ \\
=3+3log_6\dfrac{x+1}{2x+1} \ \ \ \ \ \ (1)[/tex]
Transformăm membrul drept al ecuației:
[tex]\it 4log_6\left(2+\dfrac{1}{x+1}\right) +3 = 4log_6\dfrac{2x+3}{x+1} +3 \ \ \ \ \ \ (2)[/tex]
[tex]\it (1), (2) \Rightarrow 3+3log_6\dfrac{x+1}{2x+3} = 4log_6\dfrac{2x+3}{x+1}+3 |_{-3} \Rightarrow
\\ \\ \\
\Rightarrow 3log_6\dfrac{x+1}{2x+3} = 4log_6\dfrac{2x+3}{x+1}
\\ \\ \\
Notez\ \ \dfrac{x+1}{2x+3} =a[/tex]
Ecuația devine :
[tex]\it 3log_6a=4log_6\dfrac{1}{a} \Rightarrow 3log_6a= -4log_6 a \Rightarrow 3log_6a + 4log_6 a = 0 \Rightarrow
\\ \\ \\
\Rightarrow 7log_6 a = 0 \Rightarrow log_6 a=0 \Rightarrow a = 1 [/tex]
Revenim asupra notației și rezultă:
[tex]\it \dfrac{x+1}{2x+3} =1 \Rightarrow 2x+3=x+1 \Rightarrow x=-2[/tex]
Verificăm dacă x = -2 este soluție a ecuației inițiale:
[tex]\it 3log_6\left(3-\dfrac{3}{-4+3}\right) = 4log_6\left(2+\dfrac{1}{-2+1}\right) +3 \Rightarrow
\\ \\ \\
\Rightarrow 3log_6 (3+3) = 4log_6(2-1) +3 \Rightarrow 3log_6 6 = 4log_6 1+3 \Rightarrow
\\ \\ \\
\Rightarrow 3\cdot1=4\cdot0+3 \Rightarrow 3=3\ (A)[/tex]
Deci, ecuația dată admite soluția unică x = - 2.
