O să folosim formulele:
[tex] {(a + b)}^{2} = {a}^{2} +2ab + {b}^{2} \\ {(a - b)}^{2} = {a}^{2} - 2ab + {b}^{2} [/tex]
La prima putem da 4x factor comun astfel:
[tex]4 {x}^{2} + 4x = 4x \times x + 4x = 4x(x + 1)[/tex]
Pentru a doua folosim prima formulă pentru când a este 2x și b este 1. Obținem :
[tex]4 {x}^{2} + 4x + 1 = {(2x)}^{2} + 2 \times 2x \times 1 + {1}^{2} = {(2x + 1)}^{2} [/tex]
La a treia folosim a doua formulă pentru când a este 3x și b este 1.
[tex]9 {x}^{2} - 6x + 1 = {(3x)}^{2} - 2 \times 3x \times 1 + {1}^{2} = {(3x - 1)}^{2} [/tex]
La a partea mai întâi desfacem parantezele folosind ambele formule.
[tex] {(x + 3)}^{2} - {(x - 2)}^{2} = {x}^{2} + 2 \times x \times 3 + {3}^{2} - ( {x}^{2} - 2 \times x \times 2 + {2}^{2} ) = {x}^{2} + 6x + 9 - {x}^{2} + 4x - 4 = 10x + 5[/tex]
Îl dăm factor comun pe 5.
[tex]10x + 5 = 5(2x + 1)[/tex]
Pentru a cincea desfacem parantezele.
[tex]( {x}^{2} + x)( {x}^{2} + x + 1) - 1 = {x }^{2} \times {x}^{2} + {x}^{2} \times x + {x}^{2} \times 1 + x \times {x}^{2} + x \times x + x \times 1 - 1= {x}^{4} + {x}^{3} + {x}^{2} + {x}^{3} + {x}^{2} + x - 1[/tex]
Îl scriem pe 2x^2 ca sumă de doi x^2 pentru a utiliza prima formulă și formula:
[tex] {a}^{2} - {b}^{2} = (a - b)(a + b)[/tex]
Adică
[tex]x ^{4} + 2 {x}^{3} + 2 {x}^{2} - 1 = {x}^{4} + 2 {x}^{3} + {x}^{2} + {x}^{2} - 1 = {( {x}^{2}) }^{2} + 2 \times {x}^{2} \times x + {x}^{2} + (x - 1)(x + 1) = {( {x}^{2} + x)}^{2} + (x - 1)(x + 1)[/tex]
Îl dăm pe x în prima paranteza ca factor comun.
[tex] = {(x(x + 1))}^{2} + (x - 1)(x + 1) = {x}^{2} {(x + 1)}^{2} + (x - 1)(x + 1)[/tex]
Îl dăm ca factor comun pe x+1.
[tex] = (x + 1)( {x}^{2} (x + 1) + x - 1) \\ = (x + 1)( {x}^{3} + {x}^{2} + x - 1)[/tex]
Nu văd cum am putea da un factor comun în a doua paranteză, deci acesta trebuie să fie rezultatul final.
Ultima e mai grea pentru că trebuie să observi că dacă scriem 6x ca 4x+2x ajungem la descompunerea de mai jos.
[tex] = {x}^{2} + 4x + 2x + 8 = x(x + 4) + 2(x + 4) = (x + 4)(x + 2)[/tex]
Așa s-ar face pentru clasa a șaptea.
La a noua până chiar la a doișpea ar merge cu delta, adică folosim formulele:
[tex]delta = {b}^{2} - 4ac \\ x1 = \frac{ - b + \sqrt{delta} }{2a} \\ x2 = \frac{ - b - \sqrt{delta} }{2a} [/tex]
Când formula noastră e de forma
[tex]a {x}^{2} + bx + c[/tex]
Și x1 și x2 sunt soluțiile ecuației
[tex]a {x}^{2} + bx + c = 0[/tex]
Adică o să aflăm x1 și x2 pentru care relația noastră se scrie sub forma:
[tex](x - x1)(x - x2) [/tex]
Calculăm delta
[tex]delta = {6}^{2} - 4 \times 8 = 36 - 32 = 4[/tex]
Calculăm x1 și x2.
[tex]x1 = \frac{ - 6 - \sqrt{4} }{2} = - \frac{6 + 2}{2} = - \frac{8}{2} = - 4 \\ x2 = \frac{ - 6 + \sqrt{4} }{2} = - \frac{6 - 2}{2} = - \frac{4}{2} = - 2[/tex]
Deci formula noastră poate fi scrisă astfel:
[tex] {x}^{2} + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)[/tex]
