Salut,
Notează cu S suma din membrul stâng.
Calculeaază (x + 1)³ -- x³ = 3x² + 3x + 1.
Apoi dai valori lui x de la 1, 2, 3, ..., până la n, deci obții n relații, vezi mai jos:
(1 + 1)³ -- 1³ = 3·1² + 3·1 + 1
(2 + 1)³ -- 2³ = 3·2² + 3·2 + 1
(3 + 1)³ -- 3³ = 3·3² + 3·3 + 1
...
(n + 1)³ -- n³ = 3·n² + 3·n + 1
Aduni aceste n relații membru cu membru, în membrul stâng se vor reduce toate, în afară de (n + 1)³ -- 1³.
(n + 1)³ -- 1³ = 3·(1² + 2² + 3² + ... + n²) + 3·(1 + 2 + 3 + ... + n) + n, sau
n³ + 3n² + 3n = 3S + 3·n·(n + 1)/2 + n (acel "n" de la final este rezultatul adunării 1 de "n" ori).
Am folosit formula lui Gauss, adică:
1 + 2 + 3 + ... + n = n·(n + 1)/2.
Din relația de mai sus, obții exact membrul drept din enunț.
Ai înțeles ?
Green eyes.
