👤
ANAMARIAONEGGO
a fost răspuns

Va rog sa ma ajutati!

1. [tex]\int\limits {xe^{-x} } \, dx[/tex]

2. [tex]\int\limits {x*a^x} \, dx[/tex] , x ∈ R, a ∈ (0,+∞) \ {1}

3. [tex]\int\limits {(x^2+x+1)lnx} \, dx[/tex] , x∈ (0,+∞), a∈ R*

Răspuns :

19999991GO
[tex] 1)\int x {e}^{ - x} \: dx[/tex]

[tex]f = x = > f' = x' = 1[/tex]

[tex]g' = {e}^{ - x} = > g = \int {e}^{ - x} \: dx = - {e}^{ - x} [/tex]

[tex] \int x {e}^{ - x}\:dx = x \times ( - {e}^{ - x} ) - \int - {e}^{ - x} \times 1 \: dx[/tex]

[tex] = - x {e}^{ - x} - \int - {e}^{ - x} \: dx[/tex]

[tex] = - x {e}^{ - x} + \int {e}^{ - x} \: dx[/tex]

[tex] = - x {e}^{ - x} - {e}^{ - x} [/tex]

[tex] = {e}^{ - x} ( - x - 1) + C[/tex]

[tex]2) \int x {a}^{x} \: dx[/tex]

[tex]f = x = > f' = x' = 1[/tex]

[tex]g' = {a}^{x} = > g = \int {a}^{x} \: dx = \frac{ {a}^{x} }{lna} [/tex]

[tex] \int x {a}^{x} \: dx= \frac{x {a}^{x} }{lna} - \int \frac{ {a}^{x} }{lna} \: dx[/tex]

[tex] = \frac{x {a}^{x} }{lna} - \frac{1}{lna} \int {a}^{x} \: dx[/tex]

[tex] = \frac{x {a}^{x} }{lna} - \frac{1}{lna} \times \frac{ {a}^{x} }{lna} [/tex]

[tex] = \frac{x {a}^{x} }{lna} - \frac{ {a}^{x} }{ {ln}^{2} a} = \frac{x {a}^{x} lna - {a}^{x} }{ {ln}^{2}a } = \frac{ {a}^{x} (xlna - 1)}{ {ln}^{2}a } + C[/tex]

[tex]3) \int( {x}^{2} + x + 1)lnx \: dx[/tex]

[tex]f = lnx = > f' = (lnx)' = \frac{1}{x} [/tex]

[tex]g' = {x}^{2} + x + 1[/tex]

[tex]g = \int ({x}^{2} + x + 1) \: dx[/tex]

[tex]g = \int {x}^{2} \: dx + \int x \: dx + \int 1 \: dx[/tex]

[tex]g = \frac{ {x}^{2 + 1} }{2 + 1} + \frac{ {x}^{1 + 1} }{1 + 1} + x[/tex]

[tex]g = \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {x}^{2} }{2} + x[/tex]

[tex] \int( {x}^{2} + x + 1)lnx\:dx [/tex]

[tex] = lnx( \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {x}^{2} }{2} + x) - \int \frac{ \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {x}^{2} }{2} + x }{x} \: dx[/tex]

[tex] \int \frac{ \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {x}^{2} }{2} + x }{x} \: dx[/tex]

[tex] = \int {x}^{ - 1} ( \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {x}^{2} }{2} + x) \: dx[/tex]

[tex] = \int \frac{ {x}^{ - 1} \times {x}^{3} }{3} + \frac{ {x}^{ - 1} \times {x}^{2} }{2} + {x}^{ - 1} \times x \: dx[/tex]

[tex] = \int \frac{ {x}^{ - 1 + 3} }{3} + \frac{ {x}^{ - 1 + 2} }{2} + {x}^{ - 1 + 1} \: dx[/tex]

[tex] = \int \frac{ {x}^{2} }{3} + \frac{x}{2} + 1 \: dx[/tex]

[tex] \int (\frac{ {x}^{2} }{3} + \frac{x}{2} + 1 )\: dx[/tex]

[tex] = \int \frac{ {x}^{2} }{3} \: dx + \int \frac{x}{2} \: dx + \int1 \: dx[/tex]

[tex] = \frac{1}{3} \int {x}^{2} \: dx + \frac{1}{2} \int x \:dx+ x[/tex]

[tex] = \frac{1}{3} \times \frac{ {x}^{2 + 1} }{2 + 1} + \frac{1}{2} \times \frac{ {x}^{1 + 1} }{1 + 1} + x[/tex]

[tex] = \frac{1}{3} \times \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{1}{2} \times \frac{ {x}^{2} }{2} + x[/tex]

[tex] = \frac{ {x}^{3} }{9} + \frac{ {x}^{2} }{4} + x + C[/tex]

[tex] \int( {x}^{2} + x + 1)lnx \: dx[/tex]

[tex] = lnx( \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {x}^{2} }{2} + x) - ( \frac{ {x}^{3} }{9} + \frac{ {x}^{2} }{4} + x)[/tex]

[tex] = lnx( \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {x}^{2} }{2} + x) - \frac{ {x}^{3} }{9} - \frac{ {x}^{2} }{4} - x + C[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Pe curând și nu uitați să ne adăugați la favorite!


Go Learns: Alte intrebari