a) [tex]1000_2[/tex] înseamnă că 1000 este număr în forma binară. Având în vedere faptul că [tex]2_{(10)}^x[/tex] este în forma zecimală, trebuie să-l convertim pe 1000 în forma zecimală din cea binară.
[tex]1000_2 = 0*2^0 + 0*2^1 + 0*2^2 + 1*2^3 = 0+0+0+8 = 8[/tex]
deci [tex]2^x=8 \Rightarrow x=3[/tex]
b) [tex]2^{15}+2^{16}=2^{15}*x\\2^{15}*(1+2)=2^{15}*x\\x=3[/tex]
c) [tex]3^x+3^{x+1}=36\\3^x*(1+3)=36\\3^x=9\\x=2[/tex]
d) [tex]1+2^x+3^x=6\\2^x+3^x=5\\2^x+3^x-5=0[/tex]
Aici e clar că răspunsul este 1, dar s-ar putea să mai existe și alte soluții. În cazul acesta, trebuie să spun că există o funcție.
fie [tex]f:R->R, f(x)=2^x+3^x-5[/tex]
f derivabilă pe [tex]R[/tex] din operații cu funcții derivabile
[tex]f'(x)=2^x*ln2+3^x*ln3\\\\x \in R \Rightarrow \left \{ {{2^x>0} \atop {3^x>0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{2^x*ln2>0} \atop {3^x*ln3>0}} \right. \Rightarrow f'(x)>0, \forall x \in R[/tex]
deci f strict crescătoare pe [tex]R[/tex]
Dacă funcția este strict crescătoare, înseamnă că ea va continua să crească și niciodată nu va scădea și nici nu va sta pe loc într-un punct.
[tex]x<y \Leftrightarrow f(x)<f(y), \forall x,y\in R[/tex]
aleg [tex]x=1 \Rightarrow 2+3-5=0 \Rightarrow 0=0 (A)[/tex]
deci [tex]x=1[/tex] soluție unică pentru [tex]f[/tex]
deci [tex]x=1[/tex]
