[tex]\it log_3 x^2-2log_{(-x)} 9= 2
\\ \\
Condi\c{\it t}ii \ de \ existen\c{\it t} \breve{a} \ :
\\ \\
log_3 x^2 \Rightarrow x\ne 0 \ \ \ \ \ (1)
\\ \\
log_{(-x)} 9 \Rightarrow \begin{cases} \it -x \ \textgreater \ 0|_{\cdot (-1)} \Rightarrow x \ \textless \ 0
\\ \\
\it -x \ne 1 |_{\cdot(-1)} \Rightarrow x \ne -1\end{cases}\ \ \ \ (2)[/tex]
Din relațiile (1), (2) ⇒ domeniul de existență a ecuației este:
[tex]\it D = (-\infty,\ -1) \cup (-1,\ 0)[/tex]
[tex]\it x^2=(-x) ^2\Rightarrow ecua\c{\it t}ia\ dat\breve{a}\ se\ poate\ scrie:
\\ \\
log_3 (-x)^2 -2log_{(-x)}9 =2 \Rightarrow 2log_3 (-x) -2log_{(-x)}9 =2 |_{:2}\Rightarrow
\\ \\
\Rightarrow log_3 (-x) -log_{(-x)}9 =1
[/tex]
[tex]\it Not\breve{a}m\ t = -x,\ iar\ ecua\c{\it t}ia\ devine:
\\ \\
log_3 t-log_t 9 = 1 \Rightarrow log_3 t-log_t 3^2 = 1 \Rightarrow log_3 t-2log_t 3 = 1 \Rightarrow
\\ \\
\Rightarrow log_3 t -2\cdot\dfrac{1}{log_3 t} =1[/tex]
[tex]\it Not\breve{a}m\ log_3t = y,\ iar\ ultima\ ecua\c{\it t}ie\ devine:
\\ \\
y-\dfrac{2}{y} =1 \Rightarrow y^2-2=y \Rightarrow y^2-y-2= 0 \Rightarrow y^2+y-2y-2= 0 \Rightarrow
\\ \\
\Rightarrow y(y+1)-2(y+1)=0\Rightarrow (y+1)(y-2)=0\Rightarrow y_1=-1,\ y_2=2[/tex]
Revenim asupra notației:
[tex]\it y=-1\Rightarrow log_3 t = -1 \Rightarrow t = 3^{-1} =\dfrac{1}{3} \Rightarrow x = -\dfrac{1}{3}
\\ \\ \\
y=2\Rightarrow log_3 t = 2 \Rightarrow t = 3^2 =9 \Rightarrow x = - 9[/tex]
Mulțimea soluțiilor ecuației date este :
[tex]\it S= \left\{-\dfrac{1}{3},\ \ -9\right\} \subset\ D[/tex]
