Vom calcula valoarea reala a parametrilor a si b astfel incat
limita din enunt sa fie egala cu 1.
[tex]\displaystyle\\
\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-2ax-3b \right)=\\\\
=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-(2ax+3b) \right)=\\\\
=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-\frac{(x+1)(2ax+3b)}{x+1} \right)=\\\\
=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-\frac{2ax^2+2ax+3bx+3b }{x+1} \right)=\\\\
=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-\frac{2ax^2+(2a+3b)x+3b }{x+1} \right)=\\\\
[/tex]
[tex]\displaystyle\\
=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1 - [2ax^2+(2a+3b)x+3b] }{x+1}\right)=\\\\
=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{x^2+1 - 2ax^2-(2a+3b)x-3b }{x+1}\right)=\\\\
=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{(1- 2a)x^2-(2a+3b)x+(1-3b) }{x+1}\right)=\\\\
=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{(1- 2a)x^2+(-2a-3b)x+(1-3b) }{x+1}\right)\\\\
[/tex]
Avem limita x→ ∞ a unei fractii de polinnoame
deoarece la numarator avem cea mai mare putere a lui x mai mare decat cea mai mare putere a lui x de la numitor.
Pentru ca limita sa fie finita, trebuie sa eliminam termenul cu x^2 de la numarator si aflam parametrul a din ecuatia:
1 - 2a = 0
Acum la numarator puterile lui x sunt egale, rezulta limita finita.
Limita este egala cu raportul coeficientilor lui x de la numarator si de la numitor.
Dar limita nu este egala cu 1.
Trebuie sa facem coeficientul lui x de la numarator egal cu coeficientul
lui x de la numitor care este 1, cu ajutorul ecuatiei:
-2a-3b = 1
si il aflam pe b.
Si acum calcule:
[tex]\displaystyle\\
=\lim_{n \to \infty} \frac{(1- 2a)x^2+(-2a-3b)x+(1-3b) }{x+1}\\\\
1-2a=0\\
2a = 1\\
\boxed{\bf a= \frac{1}{2} }\\\\
\text{Rezulta limita:}\\\\
\lim_{n \to \infty} \frac{(-2a-3b)x+(1-3b) }{x+1}\\\\
-2a-3b=1\\\\
-2\cdot \frac{1}{2} -3b = 1\\\\
-1-3b=1\\\\
-3b = 1+1\\\\
-3b = 2\\\\
\boxed{\bf b =-\frac{2}{3}} \\\\
[/tex]
[tex]\displaystyle\\
\text{Rezulta limita:}\\\\
\lim_{n \to \infty} \frac{(-2a-3b)x+(1-3b) }{x+1}=\\\\
=\lim_{n \to \infty} \frac{x+\left(1-3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)\right) }{x+1}=\\\\
=\lim_{n \to \infty} \frac{x+(1+2) }{x+1}=\\\\
=\lim_{n \to \infty} \frac{x+3 }{x+1}= 1[/tex]
