Răspuns :
daca x apartine intervalului [0,90] grade, atunci sinx>0 si cosx>0Ridicam ecuatia la patrat[tex](\sqrt{1+sinx}-\sqrt{1-sinx})^{2}=\sqrt{1+sinx}^{2}+\sqrt{1-sinx}^{2}-2\sqrt{(1+sinx)(1-sinx)}=1+sinx+1-sinx+\sqrt{1-\sin{x}^{2}}=2-2\sqrt{\cos{x}^{2}}=2-2cosx=4\sin{\frac{x}{2}}^{2}\Rightarrow 1-cosx=2\sin{\frac{x}{2}}^{2}[/tex]
Stim relatia general valabila
[tex]\cos{{2x}}=1-2\sin{x}^{2}[/tex] daca inlocuim in formula 2x cu x, obtinem atunci[tex]\cos{x}=1-2\sin{\frac{x}{2}}^{2}\Rightarrow 2\sin{\frac{x}{2}}^{2}=1-\cos{x}[/tex]
care este fix relatia mai sus de demonstrat.
Stim relatia general valabila
[tex]\cos{{2x}}=1-2\sin{x}^{2}[/tex] daca inlocuim in formula 2x cu x, obtinem atunci[tex]\cos{x}=1-2\sin{\frac{x}{2}}^{2}\Rightarrow 2\sin{\frac{x}{2}}^{2}=1-\cos{x}[/tex]
care este fix relatia mai sus de demonstrat.
[tex]\it \sqrt{1+sinx} -\sqrt{1-sinx} =k \Rightarrow (\sqrt{1+sinx} -\sqrt{1-sinx})^2 =k^2 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 1+sinx-2\sqrt{(1+sinx)(1-sinx)} +1-sinx = k^2\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 2-2\sqrt{1-sin^2x} = k^2 \Rightarrow 2-2cosx = k^2\Rightarrow 2-2cos2\cdot\dfrac{x}{2} =k^2 \Rightarrow [/tex]
[tex]\it \Rightarrow 2-2(1-2sin^2\dfrac{x}{2}) = k^2 \Rightarrow 2-2+4sin^2\dfrac{x}{2} =k^2 \Rightarrow 4sin^2\dfrac{x}{2} = k^2\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow\sqrt{4sin^2\dfrac{x}{2}} = \sqrt{k^2} \Rightarrow 2sin\dfrac{x}{2} = k \Rightarrow k = 2sin\dfrac{x}{2}[/tex]
Observație:
[tex]\it x \in \left(0,\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow \sin x \ \textgreater \ 0,\ \ \cos x\ \textgreater \ 0.[/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Pe curând și nu uitați să ne adăugați la favorite!