Fie:
[tex]A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 9 & 6 \\ 2 & 6 & 4 \end{array}\right]
[/tex]
Scopul demonstrației:
[tex]A^n = 14^{n-1} A, \ \forall n \in\mathbb{N}, n \geq 2[/tex]
Demonstrație: (prin inducție)
Pentru n = 2:
[tex]A^2 = 14^{2-1}A \ \Rightarrow \ A^2 = 14A \\
A^2 = A*A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 9 & 6 \\ 2 & 6 & 4 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 9 & 6 \\ 2 & 6 & 4 \end{array}\right] = \\
= \left[\begin{array}{ccc} 14 & 42 & 28 \\ 42 & 126 & 84 \\ 28 & 84 & 56 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 14*1 & 14*3 & 14*2 \\ 14*3 & 14*9 & 14*6 \\ 14*2 & 14*6 & 14*4 \end{array}\right] = 14*A[/tex]
=> supoziția este adevărată pentru n = 2.
Presupunem adevărat pentru n:
[tex]A^n = 14^{n-1} A[/tex]
Atunci vom demonstra că este adevărat pentru n+1:
[tex]A^{n+1} = 14^n A[/tex]
[tex]A^{n+1} = (A^n)*A = (14^{n-1}A)*A = 14^{n-1}*A^2[/tex]
* Obținem acest lucru înlocuind Aⁿ cu valoarea din presupunere.
Acum, A² l-am calculat în prima fază a demonstrației și este 14A.
Deci A² = 14A =>
[tex]14^{n-1}*A^2 = 14^{n-1}*(14A) = 14^{n-1} * 14 * A = \\ = 14^n*A[/tex]
Așadar am demonstrat că propoziția este adevărată pentru n+1.
În concluzie, prin inducție, am demonstrat că propoziția Aⁿ = 14ⁿ⁻¹A este adevărată pentru orice n ≥ 2, natural.
