Privind figura putem ușor observa că diagonala pătratului este diametrul cercului, astfel Diametrul = [tex] \sqrt{ a^{2}+ a^{2} } = \sqrt{2* a^{2} } =a \sqrt{2} [/tex]
Raza cercului=Diametrul/2=[tex] \frac{a \sqrt{2} }{2} [/tex]
cos∡GOA=[tex] \frac{OG}{OA} [/tex] (1)
Deoarece hexagonul ABCDEF este un hexagon regulat circumscris unui cerc ΔFOA trebuie să fie echilateral, deci ∡FOA este de 60° ⇒ ∡GOA=30°
cos 30° = [tex] \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex] (2)
Din relațiile 1 și 2 ⇒[tex] \frac{OG}{OA} = \frac{ \sqrt{3} }{2}
[/tex] (3)
OG este raza în cerc, deci [tex]OG= \frac{a \sqrt{2} }{2} [/tex] (4)
Din relațiile 3 și 4 ⇒[tex]OA= \frac{ \frac{a \sqrt{2} }{2}*2 }{ \sqrt{3} } = \frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } [/tex]
ΔFOA este echilateral, deci OA≡AF ⇒ [tex]AF= \frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } [/tex]
Hexagonul nostru fiind regulat și circumscris unui cerc are toate laturile congruente, deci [tex]latura=\frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } [/tex]
Formula ariei hexagonului regulat atunci când știm latura este:
[tex]A= \frac{3* l^{2}* \sqrt{3} }{2} [/tex]
Știind latura, acum înlocuim în formulă:
[tex]A= \frac{3* ( \frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }) ^{2} * \sqrt{3} }{2} = \frac{3* \frac{2* a^{2} }{3} * \sqrt{3} }{2} = \frac{2* a^{2} * \sqrt{3} }{2} = a^{2} * \sqrt{3} [/tex]
