Ipoteza ΔABC echilateral ⇒ AB=AC=BC
P∈BC, Q∈CA si R∈AB
Concluzie: Δ PQR echilateral
Demonstratie:
din ipoteza :ΔABC echilateral ⇒ AB=AC=BC (1)
daca P este pe BC si [BP]=[CQ]={AR] ⇒BP+PC=BC(2)
daca Q este pe CA si [BP]=[CQ]={AR] ⇒CQ+QA=CA (2)
daca R este pe AB, ⇒AR+RB=AB(2)
[BP]=[CQ]={AR] (3)
rezulta ca si restul de laturi sunt egale: PC=QA=RB
Fiind triunghi echilateral, toate unghiurile sunt egale intre ele , =180°:3=60°
∡{ABC}=∡{BAC}=∡{ACB}
Δ QAR, Δ RBP si ΔPCQ relatii
RA= BP , QA=RB si ∡{QAR} = ∡{BAC} =∡{ABC} = ∡{RBP} atunci triunghiurile QAR si RBP sunt congruente LUL⇒ ultimele doua laturi din cele doua triunghiuri egale: RQ = RP (4)
Similar: RB=PC si BP=CQ si ∡{RBP} =∡ABC} = ∡{ACB} = ∡{PCQ}
⇒ iar triunghiuri congruetne cu ultimele doua laturi egale:
PQ = RP(5)
Din (4 )si (5) rezulta ca PQ = RQ = RP adica tringhiul PQR este echilateral
