a) Ducem (1-i) în dreapta cu semn opus și obținem[tex]z= \frac{3+i}{1-i} [/tex]
Cum e destul de greu să împărțim fracții, amplificăm mai bine fracția cu conjugata lui 1-i care e 1+i pentru a obține un rezultat mai frumos.
Conjugata unui număr a+bi este a-bi.
Așadar, o să obținem:
[tex] z= \frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} [/tex]
Folosim formula [tex] (a-b)(a+b)=a^{2}- b^{2} [/tex]
și desfacem paranteza de la numărător astfel:[tex]z= \frac{3+3i+i+ i^{2} }{1- {(-i)}^{2} }= \frac{3+4i-1}{1-(-1)}= \frac{2+4i}{1+1}= \frac{2+4i}{2} = 1+2i[/tex]
b) Ducem factorii ce conțin z din dreapta în stânga cu semn opus. Obținem:
[tex]3zi+(5-2i)z-3z=2-i[/tex]
Dăm factor comun pe z.
[tex]z(3i+5-2i-3)=2-i[/tex]
Efectuăm calculele.
[tex]z(i+2)=2-i[/tex]
Ducem pe i+2 în partea dreptă cu semn opus.
[tex]z= \frac{2-i}{2+i} [/tex]
Amplificăm cu conjugata numitorului și calculăm.[tex]z= \frac{(2-i )^{2} }{(2-i)(2+i)}= \frac{4-2i-2i+ i^{2} }{4- i^{2} } = \frac{4-4i-1}{4-(-1)}= \frac{3-4i}{5} [/tex]
c)Înmulțim totul cu 2+i.
[tex]z-(7+i)(2+i)=z(1+i)(2+i)[/tex]
Efectuăm calculele.
[tex]z-(14+2i+7i+ i^{2} )=z(2+2i+i+ i^{2} )[/tex]
[tex]z-(14+9i-1)=z(2+3i-1)[/tex]
[tex]z-(13+9i)=z(1+3i)[/tex]
Ducem 13+9i în dreapta.[tex]z=z(1+3i)+(13+9i)[/tex]
Ducem z(1+3i) în stânga și dăm factor comun.[tex]z-z(1+3i)=13+9i[/tex][tex]z(1-1-3i)=13+9i[/tex]
[tex]z(-3i)=13+9i[/tex]
Înmulțim relația cu i.[tex]z(-3i)i=13i+9 i^{2} [/tex]
[tex]z(-(-3))=13i-9[/tex]
[tex]3z=13i-9[/tex]
Ducem 3 în dreapta și obținem:
[tex]z= \frac{13i-9}{3} [/tex]
