Salut,
În enunț ai o
ecuație cu 3 necunoscute: f(x), f([x]) și f({x}). Pentru a rezolva astfel de probleme, teoretic mai ai nevoie de 2 ecuații, pentru a avea 3 ecuații cu 3 necunoscute.
De fapt, ai nevoie doar de f(x). Din enunț avem că:
f([x]) + f({x})
= x – f(x) (1).
[x] reprezintă partea
întreagă a lui x (adică numărul întreg înainte de virgulă), iar {x} este partea fracționară a
lui x, adică numărul 0,abc..., unde abc... sunt toate cifrele de după virgulă.
Dacă relația din
enunț este valabilă pentru orice x real, atunci ea este valabilă pentru x = 0,
deci:
f(0) + f([0]) + f({0}) = x => f(0) + f(0) + f(0) = 0, sau 3f(0)
= 0, deci f(0) = 0 (2).
Câteva pregătiri importante, înainte de a trece la
rezolvarea propriu-zisă:
Pentru orice x real avem că [x] + {x} = x, unde 0 ≤ {x} < 1
(3)
[[x]] = [x],
adică partea întreagă din partea întreagă este tot partea întreagă a lui x
(simplu, nu ?) (4).
{[x]} = 0,
adică partea fracționară din partea întreagă este 0, pentru că un număr întreg
nu are nimic după virgulă (5).
[{x}] = 0,
adică partea întreagă din partea fracționară este tot 0, pentru că un număr
subunitar (vezi relația (3) de mai sus) îl are chiar pe 0 înainte de virgulă (6).
{{x}} = {x},
adică partea fracționară din partea fracționară este tot partea fracționară a
lui x (simplu, nu ?) (7).
Având în vedere că este valabilă pentru orice x real, în relația din enunț, înlocuim pe x cu [x] și obținem:
f([x]) + f([[x]])
+ f({[x]}) = [x], ne folosim de relațiile (4) și (5) și avem că: f([x]) + f([x]) + f(0) = [x], sau
2f([x]) = [x], deci f([x]) = [x]/2 (8).
Din nou, având în vedere că este valabilă pentru orice x real, în relația din enunț înlocuim pe x cu {x} și obținem:
f({x}) + f([{x}])
+ f({{x}}) = {x}, ne folosim de relațiile (6) și (7) și avem că: f({x}) + f(0) + f({x}) = {x}, sau 2f({x})
= {x}, deci f({x}) = {x}/2 (9).
Dacă adunăm
relațiile (8) și (9) membru cu membru, obținem așa:
f([x]) + f({x})
= ([x] + {x})/2, care cu relațiile (1) și (3) devine x – f(x) = x/2, sau f(x) = x/2.
Green eyes.
