Mai intai, poti observa ca derivata este pozitiva pentru x pozitiv, deci functia f este crescatoare. Putem sa ne folosim de asta pentru prima parte a inegalitatii.
Fie [tex]x \geq 4[/tex]. Atunci [tex]f(x)\geq f(4)=4[/tex], deci am rezolvat cu prima. Pentru a doua, sa ne uitam la functia:
[tex]\frac{f(x)}{x}=\frac{2}{\ln5}\frac{\ln(1+x)}{x}+\frac{1}{\sqrt x}[/tex]
Hai sa observam in primul rand ca ambele functii care apar in suma asta sunt descrescatoare (se poate arata foarte usor), deci, vom avea:
[tex]\frac{\ln(1+x)}{x}\leq \frac{\ln(1+4)}{4}=\frac{\ln(5)}{4}[/tex]
si
[tex]\frac{1}{\sqrt x}\leq \frac{1}{\sqrt 4}=\frac{1}{2}[/tex]
Deci vom avea:
[tex]\frac{f(x)}{x}\leq \frac{2}{\ln5} \frac{\ln5}{4} + \frac{1}{2}=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}=1[/tex]
adica:
[tex]f(x)\leq x[/tex]
Astfel, am aratat ca pentru orice [tex]x\geq 4[/tex] este valabila inegalitatea [tex]4 \leq f(x) \leq x[/tex].
